Akif Yeşilkaya, tiyatro alanındaki lisans eğitimini Bilkent Üniversitesi Tiyatro Bölümü Rejisörlük Sanat Dalı’nda tamamladı. Öğrenimi sırasında dünyanın önde gelen yönetmenlerinden Robert Sturua, Andro Enukidze ve Prof. George Antadze ile, Rejisörlük Sanat Dalı’nda tamamladığı yüksek lisans eğitiminde ise Doç. Tsotne Nakaşidze ile çalıştı. Rejisörlük eğitimi öncesinde, Gazi Üniversitesi Mühendislik-Mimarlık Fakültesi, Elektrik-Elektronik Mühendisliği Bölümünde lisans ve yüksek lisans eğitimlerini bitirdi. Aynı bölümde doktora eğitimine başlayarak derslerini tamamladı ve Araştırma Görevlisi olarak çalıştı. 
Bilkent Üniversitesi Tiyatro Bölümünde, son dört yılı Bölüm Başkan Vekili olmak üzere sekiz yıl süresince öğretim görevlisi olarak, Prof. Cüneyt Gökçer ile çalışan Akif Yeşilkaya, 2011-2013 yılları arasında Ankara Devlet Tiyatrosu Müdürlüğü ve Sanat Yönetmenliği görevini yaptı. Bu süreçte, B. Brecht’in Cesaret Ana ve Çocukları Devlet Tiyatroları’nda ilk kez, E. Rostand’ın Cyrano de Bergerac oyunu ise, Ankara Devlet Tiyatrosu’nca altmış yılı aşkın bir süre sonra yeniden sahnelendi ve çok sayıda tiyatro oyununun Türkiye’deki ilk gösterimleri gerçekleşti. Bilkent Tiyatrosu’nda, B. Brecht’in Kural ve Kuraldışı, T. Dorst’un Ben Feuerbach ve Dürrenmatt’ın Uyarca oyunlarını yönetti. Ankara Devlet Tiyatrosu’nda yönettiği H. Pinter’ın Git-Gel Dolap oyununun rejisiyle Sanat Kurumu “Övgüye Değer Yönetmen Ödülü”nü aldı. Gürcü yönetmen Robert Sturua’nın, Ankara Devlet Tiyatrosunda yönettiği Hamlet’te yardımcı yönetmen olarak görev yaptı. Git-Gel Dolap oyununu Trabzon Devlet Tiyatrosu’nda farklı bir yorumla tekrar sahneledi. Erzurum Devlet Tiyatrosu’nda N. J. Crisp’in Tehlikeli Saplantı, Sivas Devlet Tiyatrosu’nda C. Uslu’nun Öğüt oyununu sahneledi. Fransa-Türkiye Ortak Çalışması olan “Yazarlar ve Yönetmenler” projesinde yer aldı. Theodoros Terzopulus’un “Antik Tiyatroda Ses ve Beden Kullanımı”, Ellen Lauren’ın “Suzuki Metodu” ve Peter Brook’un “Peter Brook Yönetmenlerle” çalışmalarına katıldı. 
Akif Yeşilkaya, halen Ankara Devlet Tiyatrosu’nda rejisör olarak çalışmaktadır.